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关于一个数论函数及其相关方程的探讨

时间:2016-04-29  作者:冀永强

摘要:该文通过详细的分析论证,探讨了Euler函数与Smarandache可乘函数之间的关系,研究了方程解的可解性,并得到了它的所有正整数解
论文关键词:欧拉函数,可乘函数,正整数,解
  1,2,3...这些简单的正整数,从日常生活以至到尖端科学技术都是离不开的。在数学上,研究数的规律,特别是研究整数的性质的数学叫数论。数论与几何学一样,是最古老的数学分支;又是始终活跃着的前沿数学领域。数论是典型的纯粹数学,它又是日益得到广泛应用的新“应用数学”分支。数论中采用分析方法研究数的性质的分支叫解析数论。在数论研究中采用分析方法起源于欧拉的年代。欧拉用分析方法证明了欧拉恒等式欧拉函数,由此给出了“素数有无穷多个”的一个新证明。解析数论起源于对素数分布的研究,在对各种堆垒数论问题的研究中得到发展。
  数论是数学的一个分支,大约在公元前600年,Pythagoras和他的门徒们对整数做过彻底的研究,他们最早以各种方法对整数进行分类:
  偶数:2,4,6,8,10,12,14,….
  奇数:1,3,5,7,9,11,13….
  素数:2,3,5,7,11,13,17,19,…..
  合数:4,6,8,9,10,12,14,….
  素数是仅有约数1和自身的大于1的整数。除去1既不是素数也不是合数以外,不是素数的整数即为合数。我们知道,在数论中,对任意的正整数,能够唯一的写成这样的表达式,可乘函数称为的标准素因子分解式。其中,解的全部素因子,正整数是不小于的整数(参见文献2)。对于正整数,Euler函数定义为不大于且与互素的正整数的个数。Smarandache可乘函数定义为:数学小论文
  = 可乘函数
  本文主要目的是利用初等方法及解析方法研究方程 欧拉函数的可解性,并给出该方程的所有正整数解。即证明下面的定理:对任意正整数,方程正整数共有个正整数解,欧拉函数
  二 引理 是任意给定的正整数,则有解.
  证明:由于是正整数,故欧拉函数由欧拉函数的定义及性质,我们有关于一个数论函数及其相关方程的探讨互质)(见参考文献2)。从而有下面的等式可乘函数.由的定义知等于从减去中与 互质的数的个数。由于是质数,故等于从减去中被整除的数的个数。而中被整除的数的个数是解(见参考文献3),故=-。于是有关于一个数论函数及其相关方程的探讨欧拉函数
  三 定理 对任意正整数,方程欧拉函数共有个正整数解,欧拉函数
  证明:(1) 当欧拉函数是方程*的解;
  (2) 当时,不妨设欧拉函数的全部素因子,
  下面把分为两种情况进行讨论:
  A :若关于一个数论函数及其相关方程的探讨,此时,解由引理,关于一个数论函数及其相关方程的探讨=可乘函数。若方程欧拉函数成立,应有关于一个数论函数及其相关方程的探讨即有正整数正整数的一个解。
  B:若欧拉函数此时,由引理,可乘函数
  欧拉函数
  =正整数
  由于当可乘函数时,正整数时,可乘函数
  即关于一个数论函数及其相关方程的探讨,此时方程关于一个数论函数及其相关方程的探讨无解。故欧拉函数 且若此时欧拉函数,即此时方程欧拉函数无解。
  基于此,(2)变为关于一个数论函数及其相关方程的探讨 此时, 正整数关于一个数论函数及其相关方程的探讨
  下面就的取值情况进行分析:
  a. 当时,欧拉函数正整数即方程正整数无解;若欧拉函数即方程解无解。
  b. 当时,可乘函数,若可乘函数是方程欧拉函数的一个解;若正整数方程欧拉函数无解;若正整数故方程关于一个数论函数及其相关方程的探讨无解。
  c. 当 可乘函数若方程欧拉函数成立,则有关于一个数论函数及其相关方程的探讨是方程可乘函数的一个解。
  d. 当可乘函数若方程解成立,则有可乘函数方程欧拉函数均无解。
  四 结论 综上所述,方程可乘函数有且仅有个正整数解,分别是欧拉函数。本结论对数论中算术函数的均值估计问题的进一步的研究有一定的帮助。均值估计是解析数论的只要研究课题之一,是研究各种数论问题不可缺少的工具。因而在这一领域取得任何实质性的进展都必将对解析数论的发展起到重要的推动作用。

参考文献:
1. F.Smarandache,Only Problems,Not Solutions, Chicago,Xiquan Publishing House. 1993
2. 潘承洞 潘承彪 初等数论 北京 北京大学出版社 1992
3. 潘承洞 潘承彪 初等数论 北京 高等教育出版社 2003
4. 华罗庚 数论导引 北京 科学出版社 1979
5. Zhang Wenpeng,Reseach on Smarandache problems in number theory,Hexis Publish House,2004,1-4

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