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一类四阶非线性Schrödinger方程解的|keyimg1|有界性

时间:2016-01-16  作者:张小炳

本文研究了一类四阶非线性Schrödinger方程初边值问题在任意维空间中的有界性,其结果在研究整体解时是非常重要的。
论文关键词:四阶,非线性Schrödinger方程,,有界性
  我们考虑这样一类非线性Schrödinger方程的初边值问题
  |keyimg3||keyimg3|, (1.1)
  |keyimg3|一类四阶非线性Schrödinger方程解的|keyimg1|有界性, (1.2)
  有界性, , (1.3)
  其中,为复值函数,&,&为速降函数空间,四阶充分光滑,为实数。
  方程(1.1)-(1.3)具有特定的物理背景,且在数学理论上是一类非线性发展方程,因此对方程(1.1)-(1.3)的研究具有实际意义和理论意义。
  为了研究方程(1.1)-(1.3)整体解的存在唯一性,需要解在空间中的有界性质作为前提。时,文[1~5]研究了方程(1.1)-(1.3)整体解的存在唯一性及渐近性质,文[6~7]讨论了方程(1.1)-(1.3)解的有界性。时,关于方程(1.1)-(1.3)解的有界性的研究,就作者所知还是较少的。本文就时给定初值一定要求前提下,用文[7]的方法得到了方程(1.1)-(1.3)解的有界性。
  记号:简记|keyimg3|,一切常数除注明者外,均以表示,且与无关,且不同地方出现的值可能不同,但为了方便,我们仍以记之,其余记号都是标准的。
  2 引理
  因在奇维空间中的情形证明过程类似于偶维空间,我们不妨先讨论偶维情况。
  引理1 对任意复值函数一类四阶非线性Schrödinger方程解的|keyimg1|有界性,如果
  一类四阶非线性Schrödinger方程解的|keyimg1|有界性 (2.1)
  那么有
  一类四阶非线性Schrödinger方程解的|keyimg1|有界性。 (2.2)
  引理2 设为正的可积函数,为有界区域,则存在只与有关的常数,使得
  非线性Schrödinger方程 (2.3)
  成立,其中非线性Schrödinger方程
  引理3[7] 设四阶,如果
  有界性 (2.4)
  那么有
  非线性Schrödinger方程 (2.5)
  证明 根据复合函数求导法则,知
  四阶 (2.6)
  其中
  一类四阶非线性Schrödinger方程解的|keyimg1|有界性
  一类四阶非线性Schrödinger方程解的|keyimg1|有界性
  可算出
  非线性Schrödinger方程
  非线性Schrödinger方程
  |keyimg3|
  
  非线性Schrödinger方程
  在中每一项对求导的阶数与求导因子次数之和等于,并且各导数因子的次数最大为,我们将一类四阶非线性Schrödinger方程解的|keyimg1|有界性展开,注意到,展开式中的各项具有下列乘积形式:
  有界性 (2.7)
  其中,|keyimg3|分别取自非线性Schrödinger方程的表达式中的某一项,在非线性Schrödinger方程中的因子的最大个数是1,2,…,r。整理(2.7)式,其形式是
  有界性 (2.8)
  可以得知
  有界性
  即
  有界性
  令四阶,考虑(2.8)式,则(2.6)式化为
  有界性
  由假设知,四阶为与无关的常数),因此
  一类四阶非线性Schrödinger方程解的|keyimg1|有界性
  则有
  非线性Schrödinger方程
  由赫尔特不等式,得
  一类四阶非线性Schrödinger方程解的|keyimg1|有界性 (2.9)
  由(2.4)式可知,(2.9)式的右端为与无关的常数,因此有
  非线性Schrödinger方程
  根据引理2,有
  有界性
  因此,非线性Schrödinger方程
  3 主要结论
  定理 如果|keyimg3|有界,并且
  四阶
  有界性
  那么,方程⑴的解满足
  有界性 (3.1)
  证明 对(1.1)式两端同时作用,设,有
  非线性Schrödinger方程 (3.2)
  即
  |keyimg3| (3.3)
  对(3.3)式两端同时乘以,并且在上对积分,得
  有界性
  用分部积分法,得
  四阶 (3.4)
  取(3.4)式共轭,得
  非线性Schrödinger方程 (3.5)
  (3.4)式加上(3.5)式,可得
  非线性Schrödinger方程
  也即
  非线性Schrödinger方程 (3.6)
  对于有界性,记有界性,则一类四阶非线性Schrödinger方程解的|keyimg1|有界性四阶
  非线性Schrödinger方程
  一类四阶非线性Schrödinger方程解的|keyimg1|有界性 (3.7)
  类似地,对非线性Schrödinger方程,有
  四阶 (3.8)
  将(3.7)式,(3.8)式代入(3.6)式,得
  四阶
  在上积分,得
  一类四阶非线性Schrödinger方程解的|keyimg1|有界性(3.9)
  其中,为常数。(3.9)式可写成
  有界性
  |keyimg3| (3.10)
  从(3.10)式看出,右端是类似的,只须证有界。
  由于
  一类四阶非线性Schrödinger方程解的|keyimg1|有界性 (3.11)
  只须证
  |keyimg3|
  中有界的,其中上的实参数。

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