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证明数列不等式的常用方法

时间:2015-06-17  作者:曹平原

证明数列不等式的常用方法
论文关键词:数列不等式
  数列不等式数列是含有数列的通项或前n项和的不等式.在近年来的高考数学试题中,经常会见到关于数列不等式的证明问题.而数列不等式的证明大多数都是比较麻烦的.
  由于数列不等式都是与自然数n有关的不等式.所以在证明数列不等式时,人们最先想到的是利用数学归纳法.但是,只用数学归纳法,并不能完全解决数列不等式的证明问题.
  例如,对于不等式数列不等式 .如果用数学归纳法证明,则过程如下下:
  (1)当时,左证明数列不等式的常用方法,右证明数列不等式的常用方法,不等式成立.
  (2)假设时,不等式成立.即数列不等式.
  证明数列不等式的常用方法时,对上式两端同时加上数列不等式,可得
  
  下面只需证证明数列不等式的常用方法成立,此式等价于证明数列不等式的常用方法,因为这个式子的分母为正数,所以可等价转化为证明数列不等式的常用方法,由此得数列不等式.这显然是矛盾的.这说明利用数学归纳法,是不能证明这个不等式的.对这个不等式,在后面的例题1中进行证明.
  对于数列不等式的证明,需要利用各种方法,其中放缩法最为重要.应该把放缩法与数学归纳法、比较法、分析法等各种方法结合起来使用;还可以构造函数,利用函数的单调性及最值进行证明.在具体证明过程中,需要根据题目的实际情况,选择适当方法.只有巧妙地把各种方法结合起来,才能够较好地解决数列不等式的证明问题.下面介绍几种证明数列不等式的常用方法,供大
参考.
一、根据题目的特征适度放缩,用放缩法证明数列不等式
例1 在数列中,为其前n项和,且满足数列不等式
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:数列不等式
解:(1)∵ 证明数列不等式的常用方法,
数列不等式数列不等式
证明数列不等式的常用方法证明数列不等式的常用方法.∴ 证明数列不等式的常用方法
(2)∵数列不等式数列不等式
数列不等式,把这个不等式相加可得
数列不等式 数列不等式
【评析】:本题证明的关键,是根据数列不等式的特征,分离出需要的常数,得到不等式证明数列不等式的常用方法.再把这个不等式相加,并用等比数列求和公式化简,然后用放缩法证明.
二、先用数学归纳法猜想并证明通项公式,再用放缩法证明
例2 (2008年高考辽宁)在数列中,数列不等式数列不等式,且成等差数列,成等比数列(数列不等式).
(Ⅰ)求,由此猜测的通项公式,并证明你的结论;
(Ⅱ)证明:数列不等式
解:(Ⅰ)由条件得数列不等式由此可得证明数列不等式的常用方法
猜测数列不等式 下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,由数列不等式证明数列不等式的常用方法,可知结论成立.
②假设当n=k时,结论成立,即证明数列不等式的常用方法
那么当n=k+1时,证明数列不等式的常用方法
所以当n=k+1时,结论也成立.
由①②,可知数列不等式对一切正整数都成立.
(Ⅱ)证明数列不等式的常用方法 n≥2时,由(Ⅰ)知证明数列不等式的常用方法
数列不等式
数列不等式
证明数列不等式的常用方法 综上,原不等式成立.
【评析】:这个题的证明过程中,“证明数列不等式的常用方法”是最关键的一步,通过这一步的放缩,就可以进行下一步的拆项相消了.
三、在用数学归纳法证明的第二步过程中,利用放缩法进行证明
例3.(2009年高考山东)设等比数列{高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。}的前n项和为高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,已知对任意的证明数列不等式的常用方法
证明数列不等式的常用方法,均在函数证明数列不等式的常用方法数列不等式均为常数)的图像上.
(Ⅰ)求r的值;Ⅱ)当b=2时,记 证明数列不等式的常用方法 ,m
求证:对任意的证明数列不等式的常用方法 ,不等式证明数列不等式的常用方法成立.
解:(Ⅰ)因为证明数列不等式的常用方法,所以当高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。时,证明数列不等式的常用方法
高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。时,证明数列不等式的常用方法
又因为{高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。}为等比数列,证明数列不等式的常用方法
所以,证明数列不等式的常用方法,并且数列不等式
(Ⅱ)当b=2时,数列不等式证明数列不等式的常用方法
证明数列不等式的常用方法,所以证明数列不等式的常用方法 w.w.w.,,,k.s.5.u.c.o.m ,
因此,只需证明不等式数列不等式成立.因为
①当高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。时,左边=数列不等式,右边=高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,因为数列不等式,所以不等式成立.
②假设当高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。时不等式成立,即证明数列不等式的常用方法成立.
则当证明数列不等式的常用方法时,左边为
证明数列不等式的常用方法证明数列不等式的常用方法 数列不等式数列不等式
所以,当数列不等式时,不等式也成立. 由①、②可得不等式数列不等式恒成立.所以要证的原不等式也成立.
【评析】本题主要考查等比数列的定义、通项公式、求和公式以及数列不式的证明.在证明过程中,利用了数学归纳法和放缩法.其中,用均值不等式缩小是最关键的一步.
四、在用放缩法证明的同时,构造函数并用其单调性证明数列不等式
例4 (2009年高考广东) 已知曲线数列不等式.从点证明数列不等式的常用方法向曲线高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。引斜率为数列不等式的切线高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,切点为证明数列不等式的常用方法
(1)求数列证明数列不等式的常用方法的通项公式;
(2)证明:证明数列不等式的常用方法
解:(1)可设切线高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。证明数列不等式的常用方法,联立数列不等式证明数列不等式的常用方法,则证明数列不等式的常用方法
证明数列不等式的常用方法数列不等式舍去),由此解得
数列不等式数列不等式
证明数列不等式的常用方法(2)证明:∵证明数列不等式的常用方法 w.w12二

数列不等式
由于数列不等式,可令函数数列不等式,则证明数列不等式的常用方法,令数列不等式,得证明数列不等式的常用方法.在区间证明数列不等式的常用方法上,数列不等式,则
函数高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。数列不等式上单调递减.∴数列不等式,即数列不等式证明数列不等式的常用方法恒成立,
证明数列不等式的常用方法,则有数列不等式,即数列不等式 w.w.w.k.s.【评析】前面的放大过程中是利用不等式证明数列不等式的常用方法,由此得证明数列不等式的常用方法
五、利用作差、作商比较法或者分析法,也可以证明数列不等式
例5(2009年高考安微)已知数列{}的

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