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基于向量组线性关系理论的线性代数知识体系_数学论文

时间:2011-07-27  作者:秩名

论文导读::指出了向量组线性关系理论的基本概念。在向量组线性关系理论基础上重新建立了线性代数知识体系。这种知识体系同时考虑了学生的心理因素,按生活逻辑安排各个模块的知识,便于提高学生接受能力。
论文关键词:线性代数,线性关系,知识体系

  线性代数这门课程有一个特点:各部分内容相对独立,整个课程呈现出一种块状结构,原因是线性代数学科的形成过程本身就没有一条明确的主线。内容有行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值问题、二次型、线性空间与线性变换。我们几乎可以找到从线性方程组、行列式、向量、矩阵、多项式、线性空间、线性变换中的任何一个分块开始展开的教材,其展开过程主要取决于作者串联这些分块的形式逻辑的脉络[1]。实际上,课程内容的展开不仅取决于课程本身的逻辑,也应该充分考虑学生的接受能力的因素。行列式、矩阵运算和方程组求解通常都被认为容易被学生理解的内容,而向量组的线性关系问题是线性代数的难点。通常的线性代数知识体系是按照由易到难道顺序安排,这样似乎可以渐进地接受难点,但实际上有以下几个弊端:(1)由于难点出现的时间较迟,学生没有机会对难点进行重复运用和消化理解就已经进入课程的尾声;(2)从心理上讲,学生学习有先入为主的现象,最开始学到的知识最容易记住,因此难点后出现也不利于学生接受;(3)运用向量组的线性关系理论可以统领线性代数的重点内容,如果不尽早引入这个理论,就不容易将块状结构有机地结合起来。
  1. 线性关系理论的基本概念及其表现
  线性关系理论的基本概念包括:向量组的线性组合、向量的线性表示、向量组的线性相关性、向量组的线性无关性、向量组的最大无关组、向量组的秩等。
  对任意一个向量组,以这个向量组为列向量组构造矩阵,可以通过对实施初等行变换判别列向量组的线性相关性,进而获得该向量组的最大无关组,同时可以获得向量组中任意一个向量由最大无关组线性表示的表示系数,也可以获得向量组的秩。可见,向量组的线性关系问题集中表现在矩阵的初等行变换过程中。可以认为数学论文,矩阵的初等行变换过程是向量组线性关系理论的外在表现。
  2. 基于线性关系理论的线性代数知识体系与关联
  线性代数中主要问题的解决都是通过解线性方程组实现的,可以说线性代数的核心内容是线性方程组,而研究线性方程组及其解靠的是矩阵及其矩阵的初等行变换。因此,以线性方程组为出发点,可以为以后解决问题奠定基础。
  通过线性方程组可以引出矩阵概念,并引出矩阵的初等行变换方法,进一步引出向量概念,以及向量的线性运算和矩阵与向量乘法运算。在这些基本概念和运算的基础上,线性方程组可以表示矩阵形式和向量形式线性代数,其中,是线性方程组的系数矩阵,为矩阵的列向量组,是线性方程组的常数列向量[2]
  由向量形式方程组线性代数进一步讨论向量组的线性关系理论,为深入研究和理解线性代数的其它问题提供理论基础。从矩阵形式的方程组出发进一步讨论矩阵运算,特别是在向量组的最大无关组和向量组的秩的概念下,矩阵的秩的定义变得很简单,逆矩阵也很容易理解。行列式可以认为是方阵中的一个特殊概念,事实上,阶行列式也可以用为向量定义[2]。在行列式和线性方程组概念下,很自然地讨论矩阵的特征值和特征向量问题。二次型标准形问题则在特征值和特征向量概念基础上处理。线性空间和线性变换则是向量方法和矩阵方法的升华[3]杂志网
  在这种知识体系下,向量和矩阵是线性代数的核心工具,矩阵的初等变换是代数的核心方法,而向量组的线性关系理论是核心理论。矩阵的初等变换这一方法不仅可用于求解线性方程组,他还可用于求矩阵的逆矩阵;求矩阵的秩;求向量组的极大无关组及其秩;求齐次线性方程组的基础解系;求向量空间的基及维数;求特征向量;求实二次型的标准形等。而对于这些问题的理性认识则需要向量组的线性关系理论。
  3. 知识体系展开的基本逻辑
  怎样设计线性代数课程的科学体系?这取决于我们对学科内容的本质的理解,对该学科在现代科学中的地位和作用的认识和课程的目标。在我国,理工科的线性代数教科书是把线性代数的各部分内容作为工具来掌握,而忽视了这门学科最终形成的思想基石——空间与变换,因此这样的课程并没有真正跨进线性代数的思想殿堂,顶多只能视为矩阵运算的初级教程。而我国数学专业的高等代数课程又过分沉湎于形式化概念的逻辑体系构建,而忽略了线性代数理论在现实生活中的鲜活背景和在现代科学技术中的应用前景,因此这样的课程在学完之后也不易明白学习该课程的目的和意义,甚至以为仅仅是学习其他课程的前期准备[1]
  很多文献([1][4][5])讨论了线性代数的知识体系,但是学者们基本上只考虑知识体系本身,而忽略了学生学习的心理因素。线性代数的一个公认特点是内容抽象,要真正掌握线性代数的原理与方法必须具备较强的抽象思维能力,即对形式概念的理解能力和形式逻辑的演绎能力,而这两种能力要求几乎超越了大多数学生在中学阶段的能力储备。面对抽象的课程内容和复杂度知识体系,学生在学习数学课程时往往会产生焦虑情绪[7]。按照块状结构安排线性代数的知识体系容易使学生产生焦虑情绪。
  通常按照块状结构安排线性代数的知识体系,便于教师理解,但是,学生很难建立块状结构之间的联系。基于线性关系理论的线性代数知识体系是从学生认识能力出发数学论文,由现实世界的问题引出数学概念,使学生感到是因为解决现实的需要而学习新的数学概念、理论和方法。这种由现实问题到解决方法的逻辑关系称为生活逻辑,而按照块状结构形成的知识关系成为学科逻辑[7]。学科逻辑是出于本学科的研究者知识整理的需要,不适合向学生传授知识。基于线性关系理论的线性代数知识体系的基本逻辑关系是按生活逻辑展开的。首先,学生容易认识线性方程组与现实的联系,随着解决线性方程组问题过程的深化,提出矩阵和向量概念;进一步,矩阵和向量等新的元素需要进行运算,因此分别讨论向量运算(主要是线性关系理论和方法)和矩阵运算;具备了线性代数的核心工具(向量和矩阵)、核心方法(矩阵的初等变换)和核心理论(向量组的线性关系理论),就可以继续讨论特征值和特征向量,可以讨论二次型,也可以讨论线性空间和线性变换。整个线性代数知识是按照需求展开的,因此,很多过去块状结构中的知识内容(如矩阵、向量、线性方程组等)并非一次性的安排在一章之内,而是在不同的章节中逐渐深入展开。这样安排便于形成以矩阵初等变换为核心方法和向量组的线性关系理论为核心理论的主线,便于学生渐进理解线性代数的难点。
  4. 结论
  基于线性关系理论的线性代数知识体系将线性代数知识按生活逻辑展开,以向量和矩阵为核心工具,矩阵的初等变换为核心方法,以向量组的线性关系理论为核心理论,形成线性代数的知识主线。这种知识体系便于学生理解线性代数的难点,克服学习上的焦虑情绪。

参考文献
[1]刘学质.线性代数的体系与方法[J]. 重庆教育学院学报,2007.20(7):142-144.
[2]Peter D. Lax. 线性代数及其应用(第二版)[M]. 北京:人民邮电出版社, 2009.
[3]王玺等.线性代数[M]. 上海:同济大学出版社, 2009.
[4]彭德艳,金传榆.《线性代数》内容的关联性研究[J]. 大学数学,2007.23(1):170-175.
[5]贺继康.高等代数课程结构简论[J]. 陕西教育学院学报,2003.19(4):77-79.
[6]王玺.数学课堂教学中的学生情绪因素与教师行为分析[J]. 上海电力学院学报,2004.20(4):95-98.
[7]朱宁波,齐冰.学科课程内容组织的逻辑体系及其处理原则探析[J]. 辽宁师范大学学报(社会科学版)2007.30(1):61-63
 

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