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洛必达法则在复变函数极限中的应用

时间:2011-04-22  作者:秩名

论文导读:本文将高数中的洛必达法则推广到复变函数中来,给出复变函数中与高数中洛必达法则类同的法则.并且利用给出的洛必达法则更方便的求解复变函数的某些类型极限以及判定解析函数孤立奇点的类型.
关键词:洛必达法则,孤立奇点的类型

  一、给出法则
   复变函数中的一些概念和结论是实函数中相应概念的推广,复变函数中关于复函数的极限,连续,可导,关于复级数,复积分等概念和一些重要结论都是高数中关于实函数的相应概念和结论从实数域到复数域的推广.众所周知,对实变函数中“未定式”的分析可以利用洛必达法则,那么对复变函数中的“未定式”是否有相应的洛必达法则?答案是肯定的.)
  一元实函数的极限只要求沿轴趋于,而复变函数的极限要求在复平面上按任意方式趋于 ,这是实函数极限与复变函数极限的本质区别.但在复变函数中,在区域上可导,也就是在上解析,而解析函数有很好的性质,这对于研究复变函数“未定式”有很大的方便.在此,我们将复变函数中的洛必达法则归结如下:
  1.
  (1)定理1:设复变函数 的去心邻域: 内定义可导(即解析),且极限存在,则.
  (2)定理2:设复变函数在无穷远点的去心邻域: 内可导(即解析),且,且极限存在,则 .
  2.
  (1)定理3:设复函数 的去心邻域内内解析,且 ,且极限存在,则 .
  (2)定理4:设复函数在无穷远点的去心邻域:内解析,且,且极限存在,则 .
  3.其它不定式
  形如型的未定式,可以通过将它们化为型来计算.
  二.法则应用
  1.高数中的洛必达法则,在求函数极限时发挥重要作用.而在复变函数中洛必达法则在复函数极限的计算中发挥重要作用,使一些不太容易解决的问题在应用了这个法则之后变得容易解决.
  例1 求
  解:原式=
  例2 求
  解:原式=
  例3 求
  解:原式=
  (型)=
  (型)=
  例4 求
  解:原式=
  注:洛必达法则仅是一个充分性条件的确定商式极限工具.当条件满足时,所求极限存在(或为),但当条件不满足时,不应当使用这一工具,但这并不等价于极限不存在,所以在使用洛必达法则时,必须每步检查一下是否为型或型的未定式,以避免解题错误.
  2. 复变函数的洛必达法则在判定解解析函数孤立奇点类型方面的应用
  一般复变函数论的教材均指出:的可去奇点、极点和本性奇点的充要条件分别是:有限复常数,不存在.所以,若已知的孤立奇点,则此孤立奇点的类型与有关.(无穷远点亦可类似讨论)因此,我们可以在求时应用此法则,使问题简化.

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