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两平行平面间距离公式的几种推导方法(图文)

时间:2011-04-22  作者:秩名

论文导读:运用向量方法推导两平行平面间的距离公式,不仅能够加深学生对向量、射影、两向量的数量积等概念的理解与把握,还能使学生对射影和两向量的数量积之间的关系有更加深刻的认识,同时也可以提高学生运用已学知识的能力。运用此方法推导两平行平面间的距离公式,不仅可以加深学生对平面划分空间问题的理解,使学生能够通过离差的符号来判断给定点和平面的位置关系,还能使学生更好的掌握平面的法式方程,对法式方程的特点有更加深刻的认识,同时也可以巩固分类讨论的思想方法。
关键词:平行平面,距离,射影,离差

  距离问题是空间解析几何中重要的研究对象之一,也是一个难点。文[1]详细介绍了两点间的距离公式、点到平面的距离公式、点到直线的距离公式、两异面直线间的距离公式。本文主要讨论两平行平面间距离公式的几种推导方法,加深对距离问题的认识,有助于培养发散性思维能力,也体现了一题多解的思想。已知两平行平面,设它们之间的距离为,下面通过不同的方法推导出的表达式。
  1 运用向量方法推导
  两平行平面间的距离为两平面上点间距离的最小值。根据平面的方程,它们的一个法向量可设为。在平面上分别任取一点,设向量与向量的夹角为,则两平行平面间的距离,其中为与同方向的单位向量。
  证明:由射影的计算公式可得:,而,由此可得:。由点的任意性,所以有
  由于为与法向量同方向的单位向量,即
  根据数量积的定义可知:论文发表
  根据上面的等式可以得到两平行平面间的距离为:
  
  由于点分别在平面上,故有,即:。由此可得两平行平面间距离的表达式如下:
  
  运用向量方法推导两平行平面间的距离公式,不仅能够加深学生对向量、射影、两向量的数量积等概念的理解与把握,还能使学生对射影和两向量的数量积之间的关系有更加深刻的认识,同时也可以提高学生运用已学知识的能力。
  2 由坐标原点到两平行平面间的距离来推导
  坐标原点与两平行平面间的位置关系有如下五中情况(这里假定平面在平面的上方,另外的情况可类似讨论):

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