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从微观到宏观,从Boltzmann方程到流体力学方程(图文)

时间:2011-04-22  作者:秩名

论文导读:现在,对流体力学的研究一般从宏观,微观,介观三个层次。流体力学方程是从宏观层次上得到的,流体被假设为连续介质,流体运动满足质量守恒,动量守恒,能量守恒,并由Euler方程组Navier-Stokes方程组来描述,在数值计算中【1】,以非线性的微分方程为出发点,有有限差分法,有限容积法,有限元法,有限分析法,谱方法等,这类方法本质上是一种自顶向下的方法,对微分方程进行离散,得到代数方程组或者常微分方程系统,再利用标准的数值方法求解。在微观上,流体不再被假设为连续介质,流体由大量的离散分子组成,分子受到相互间作用力和外加作用力的影响。在介观上,流体被离散成一系列的流体粒子,通俗的说,这些粒子比分子的级别要打,但从宏观上来说又无限小,其质量比起有限容积法中的控制容积质量要小得多,此时用数学的观点来描述此流体就应该Boltzmann方程。
关键词:宏观,微观,介观,Boltzmann方程,流体力学方程

  流体力学时研究流体运动规律的一门学科,经过多年的发展,已经取得了丰硕的成果,但由于流体运动的复杂性,还有很多实际的问题没有得到解决,在数学上,其复杂性反应在描述其运动的上,除了一些简单的情况,一般是很难得到这些方程的精确解的,因此,方程的求解问题也被美国CLAY数学促进会设立的7个100万美元奖金的千年难题之一。
  现在,对流体力学的研究一般从宏观,微观,介观三个层次。论文发表。首先我们来介绍下这3个方面。
   流体力学方程是从宏观层次上得到的,流体被假设为连续介质,流体运动满足质量守恒,动量守恒,能量守恒,并由Euler方程组Navier-Stokes方程组来描述,在数值计算中【1】,以非线性的微分方程为出发点,有有限差分法,有限容积法,有限元法,有限分析法,谱方法等,这类方法本质上是一种自顶向下的方法,对微分方程进行离散,得到代数方程组或者常微分方程系统,再利用标准的数值方法求解。
   在微观上,流体不再被假设为连续介质,流体由大量的离散分子组成,分子受到相互间作用力和外加作用力的影响。任何系统的宏观特征和运动规律,再微观上都表现为分子的无规则的热运动。因而,一种最直接的想法就是通过模拟每一个分子的运动。再进行统计平均,已获得流体运动的规律。这种方法称为分子动力学模拟。由于这种方法主要是在计算机上实现的,所以在早期,受到计算机的限制,模拟的空间尺度和时间尺度都很有限。论文发表。但随着近年计算机技术的高速发展,分子动力学模拟方法也得到了迅速的发展,已经成为研究流体运动的一种重要的方法。发表论文
  在介观上,流体被离散成一系列的流体粒子,通俗的说,这些粒子比分子的级别要打,但从宏观上来说又无限小,其质量比起有限容积法中的控制容积质量要小得多,此时用数学的观点来描述此流体就应该Boltzmann 方程。
  从以上的综述可以看出,对于同一流体,从宏观和介观可以由不同的方程来描述,因此,从数学的观点将其统一起来,就是非常必要的,下面,我们就从理论的角度,来证明,从介观的Boltzmann 方程可以恢复到到宏观的Navier-Stokes方程组。
  首先我们简单的介绍下Boltzmann 方程。发表论文。这个方程是由统计力学的创始人之一Boltzmann所建立的,用以描述非平衡态分布函数演化规律的方程,其具体形式如下,
  (1)
  其中,称为碰撞算子,它的形式由下式给出:
  
  在中的B称为碰撞核,它仅依赖于粒子间的碰撞,从物理背景出发,我们总假设仅依赖于,这里我们不过多的牵涉到它的具体形式。
  下面,我们就严格的推导,如何从Boltzmann 方程到大家所熟悉的Navier-Stokes方程组,首先引入下面一个引理:
  引理【2】:对于,始终有成立。
  注:该引理的证明科参考文献[2],这里我们不给出严格的证明,我们将以上的称为守恒量。
   下面我们给出本文主要结论,即从形式上出发,可以由Boltzmann 方程到Navier-Stokes方程【3】。
  证明:首先在方程两边同时乘以,并积分,利用引理,就可以得到下面的积分方程
  (2)
  如果我们定义,就可以得到,这就是大家所熟知的质量守恒方程。
   类似地,如果在方程(1)两边同时乘以,并积分,再利用引理,
  如果我们再定义
  ,就可以得到动量守恒方程和能量守恒方程。
  ,(3)
   (4)
  以上的方程(2),(3),(4)j就是流体力学方程组。
  注:虽然我们根据这个定理从形式上得到了流体力学方程组。发表论文。但要真正发挥作用,还需要求得,使其成为一个封闭的方程组,而严格求解Boltzmann 方程是很困难的,所以还有很多的问题没有解决。论文发表。
   对于宏观和微观的问题,近来成为大家研究的热点,相信随着研究的深入,很多问题都会被解决,也会给工程中带来更多的应用。

参考文献:
【1】何雅玲,王勇,李庆,格子方法的理论及应用,科学出版社。
【2】2008李大潜,秦铁虎,物理学与偏微分方程,高等教育出版社,2005
【3】C.Cercignani,R.Illner,M.Pulvvirenti,稀薄气体的数学理论,高等教育出版社,2009
 

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