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牛顿插值算法在因式分解中的设计与实现

时间:2016-08-10  作者:李治强龙法宁洪月华

定义:设等距节点 xi=x0+ih, h是步长,i=0,1,2,…
记函数f的值 fi=f(xi), i=0,1,2,…
则称一阶向前差分△fi=fi+1-fi,n阶向前差分△nfi=△n-1fi+1-△n-1fi
定理1:向前差分与函数的关系为:
Newton插值 其中不可约多项式因式构造
现讨论等距节点情形:
x0由定理1有: f[x0、x1、…、xk]= △kfi/(k!hk)
于是牛顿插值公式简化为
Nn(x)=f0+(x-x0)△1f0/(1!h1)+(x-x0)(x-x1)△2f0/(2!h2)+…+
(x-x0)(x-x1)… (x-xn-1)△nf0/(n!hn)
本算法采用等距节点h=1的情况,于是k次多项式Nk(x)的系数分别为:
算法
论文图片
牛顿插值算法在因式分解中的设计与实现-论文网 Newton插值
不可约多项式
1.2 因式判断
在本文中F(x)表示数域上F上的全体,设f(x)、g(x)因式构造F(x),物流管理毕业论文范文如果存在多项式f(x)= g(x)q(x),则称f(x)能被g(x)整除,记为f(x)g(x)。整除有以下几个定理来判断:
定理2[6]:若R是整数环,R(x)也是整数环,因而必有商域
算法称为R上的一元有理分式域。
于是有:
(1)若g(x) =0,那么根据整除的定义,g(x)只能整除零多项式;
(2)若g(x)论文图片0,那么由以上定理,当且仅当g(x)除以f(x)的余式r(x)=0时,g(x)能整除f(x)。
1.3 多项式相除算法
设f(x)= g(x)q(x)
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Newton插值
不可约多项式
因式构造 (0算法t论文图片n)
亦,当a0=0,ai牛顿插值算法在因式分解中的设计与实现-论文网0时,f(x)必有因式g(x)=x;
当c0=0时,f(x)可能有因式g(x)=x;
当c0Newton插值0时,d0=a0/c0,dn-k=an/ck
不可约多项式 (t=1,2,…,n-k-1)
2 算法分析及实现
用构造性算法(如图1)找出f(x)可能的因式g(x),若g(x)为整系数多项式且最高项系数不为0,则flag=1;否则flag=0。若flag=1并验证出g(x)是f(x)的因式,则输出g(x),facmon=1,f(x)=f(x)/g(x)(即令n=n-k);否则继续构造。若构造的g(x)的次数k>[n/2]且facmom=0,则f(x)是不可约多项式;若构造的g(x)的次数k>[n/2]且facmom=1,则输出f(x)的最后一个因式f(x),否则继续构造。
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