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一类矩阵扩充问题

时间:2016-01-16  作者:熊培银 祝志栋

摘要:讨论了一类矩阵扩充问题,给出了其有解的充分必要条件及在有解条件下的通解表达式。
论文关键词:矩阵扩充,广义奇异值分解,最佳逼近
  令表示所有阶实矩阵组成的集合, 表示所有阶正交矩阵集合;表示阶单位矩阵;表示矩阵的一类矩阵扩充问题范数;分别表示矩阵和最佳逼近逆.
  本文讨论如下问题:
  问题 给定最佳逼近,求矩阵扩充,使得
  广义奇异值分解
  其中为问题一类矩阵扩充问题的解集.
  特别地,当矩阵扩充
  广义奇异值分解,则问题I,II转化为子矩阵约束下矩阵左右逆特征值问题[1];矩阵扩充问题亦称子矩阵约束下矩阵方程问题[2,4] .
  2.问题有解的条件及通解表达式
  引理1[4] 设一类矩阵扩充问题最佳逼近广义奇异值分解最佳逼近一类矩阵扩充问题矩阵扩充,若分别有如下奇异值分解如下
  广义奇异值分解最佳逼近
  其中矩阵扩充,
  矩阵扩充矩阵扩充最佳逼近广义奇异值分解矩阵扩充一类矩阵扩充问题
  则问题广义奇异值分解的通解为
  一类矩阵扩充问题 (2.1)
  其中
  作者简介:熊培银(1980.1), 男,安徽省泗县人,仰恩大学数学系,助教,研究方向:数值代数
  Email:xiongpeiyin@126.com ,Tel:13205073868
  广义奇异值分解 (2.2)
  令,将矩阵对矩阵扩充进行如下广义奇异值分解[10]
   一类矩阵扩充问题 (2.3)
  其中是非奇异的矩阵,矩阵扩充
  矩阵扩充一类矩阵扩充问题
  一类矩阵扩充问题一类矩阵扩充问题
  一类矩阵扩充问题广义奇异值分解 (2.4)
  广义奇异值分解 (2.5)
  则有如下定理
  定理1已知矩阵扩充,则问题I有解的充分必要条件为
  最佳逼近 (2.6)
  通解表达式如下
  最佳逼近 (2.7)
  一类矩阵扩充问题
  证明:根据定理1 有
  一类矩阵扩充问题 (2.8)
  由(2.3)可得 广义奇异值分解
  令 最佳逼近
  则有 矩阵扩充 (2.9)
  故(2.3)有解即问题I有解的充要条件为(2.6),且
  一类矩阵扩充问题 (2.10)矩阵扩充 (2.11)
  将(2.11)代入(2.4)可得问题I的解.

参考文献
[1] 戴华.线性流行上矩阵最佳逼近,高校应用数学学报(A辑)1994 3(9):312-340.
[2] C.de Boor and G.H.Golub,The Numeral stable Reconstruction of a Jacobi matrix from Spectral Data, Linear Algebra and Its Applications, 1987 21:245-260 .
[3] 彭振赟.几类约束矩阵方程问题和几类矩阵方程扩充问题.湖南:湖南大学数学与计
量经济学院,2003.
[4] 周树荃,戴华.代数特征值反问题,河南科技大学出版社, 河南 1991.
[5] 张磊,谢冬秀.一类逆特征值问题,数学物理学报,1993,23(1):94-99.

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