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积分中值定理的改进和应用

时间:2015-09-05  作者:罗文枢

摘要:本文在《数学分析》(华东师大版)所叙述的第一、第二积分中值定理和前人对积分中值定理所作的改进的基础上,进一步把定理中的条件进行加强,从而得到一个更精细的定理,并分别从四个方面阐述了积分中值定理的应用。
论文关键词:积分中值定理,函数,连续,单调,区间

中占有重要的地位。

一、 积分中值定理的叙述

定理:(推广的积分第一中值定理)

若函数在闭区间上连续,且上不变号,则在上至少存在一点,使区间。特别地,当g(x)=1时有

区间

定理:(积分第二中值定理)

若函数在在区间非负单调递减,为可积函数,则存在积分中值定理的改进和应用连续

定理:若在且单调递增,为可积函数, 则存在积分中值定理区间.

定理(推论):若在为单调函数,为可积函数,则存在单调积分中值定理

二、 积分中值定理的改进

将第一中值定理进行改进和加强得到:

定理:若函数在闭区间上连续,上连续且不变号,则在内至少存在一点,使连续。特别地,当=1时有,积分中值定理

现在我们在此基础上将定理5中的条件进行加强,从而得到:

定理6:若函数在闭区间上严格单调且连续,而上可积不变号,则在内存在唯一一点,使积分中值定理。特别地,当=1时有单调

证明:在区间中作映射T:=积分中值定理的改进和应用+积分中值定理的改进和应用,不妨设严格单调递增(严格单调递减的情况可类似证明),则连续< 连续<,那么C,从而T是到自身的映。又对于函数,有:

积分中值定理

因为上严格单调递增,所以单调,故必存在一个数区间,使得连续成立。因此有:

函数=区间单调

从而T是到自身的压缩映像,由Banach不动点原,存在唯一一点区间,即

函数区间

从而得函数,定理得证。

三、 积分中值定理的应用

1. 在具有某些性质的点的存在问题中的应用

在积分学的学习过程中,有关定积分具有某些性质的点的存在问题的论证是一个难点。一般,我们应仔细观察被积函数所具有的性质,注意利用微分中值定理、积分中值定理等途径来证明有关问题。

例1 若函数在闭区间上连续,且函数,证明:

内至少存在两点连续

中已用Rolle定理给出了一个证明,而本文将利用积分中值定理来证明。

分析:很明显=0在闭区间上至少存在一个根,那么我们采用反证法,即证=0在上不可能只存在唯一的一个根。利用积分中值定理推出矛盾,从而证明命题。

证明一:积分中值定理的改进和应用,即=0至少存在一个根。

假设在=0只有一个根,则由积分中值定理有:

函数 (1)

因为连续,且由假设知上不变号。

由定理5得:存在连续使得

积分中值定理的改进和应用

连续,于是我们得到连续,这与区间矛盾。即证在内至少存在两点单调

证明二:假设在=0只有一个根,由函数知f(x)在单调内异号。设在连续,而=为单调递增函数,所以

区间这与积分中值定理的改进和应用矛盾。

例2 设函数二次可微,且严格单调,证明:在内存在唯一的一点,使得连续

中有一个类似的例题,联想到定理6,本文的将其中的条件作减弱,将“具有二阶连续导数”改为“二次可微”,然后利用定理6给予证明。

分析:由题目的条件和结论,我们首先想到将=处用Taylor公式展开,然后对展开式的两边在区间上同时积分,然后利用积分中值定理和定理6推出结论。

证明:令==处用Taylor公式展开得:

连续,其中介于之间。

积分中值定理的改进和应用函数 (2)

对(2)式两边在区间上同时积分得

函数 (3)

其中积分中值定理。而|ke

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