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Mathematica在高等数学中的典型问题应用探索_绘图-论文网

时间:2015-03-30  作者:高金新
论文摘要:分析了高等数学中的图形图像处理、数值计算及实验数据处理等典型问题的教学特点,给出了应用Mathematica软件辅助高等数学教学的几个典型案例,并采用Mathematica分别实现了以上典型问题的解答。
论文关键词:高等数学,绘图,计算,数学应用
  高等数学是高等教育阶段一门重要基础课,由于其严密的逻辑性,高度的抽象性,不少同学感到枯燥无味,只能被动接受。在数学软件发展成熟的今天,适时地进行教学改革,运用现代信息技术,使传统的高等数学教学内容及方法更好适合学情与培养要求,已势在必行。本文通过在高等数学教学及解决实际问题中使用Mathematica软件辅助教学过程的几个典型案例来加以说明。
  1、利用数学软件辅助图像处理来提高教学效果
  1.1、利用数学软件,理解抽象内容
  在高等数学中很多内容都比较抽象,学生理解起来比较困难,而借助直观的几何图形,可以使抽象的数学式子与直观形象的图形之间建立有效的联系,增强学生对所学知识的理解、记忆和深化。
  案例1:设函数,试用动画显示其麦克劳林级数逼近它的过程。
  解:记
  所以,可逐步增加值,实现多项式逼近函数的过程。为方便观察,将的图形画在一张图中,并用不同颜色显示,程序如下:
  f1[x_]:=Sin[x]
  f2[x_,m_]:=Sum[(-1)^(k-1)*x^(2*k-1)/(2*k-1)!,{k,1,m}]
  Do[
  Plot[{f1[x],f2[x,m]},{x,0,8*p},PlotRange®{-2,2},PlotStyle®{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,0,1]}],{m,1,30}]
  
  图1
  运行上述程序后,屏幕显示了30幅图,图1是其中第一幅图。选定所用图形,按下Ctrl+Y,就可观察到多项式的增大逐步逼近函数的过程。在传统的课堂教学中,函数逼近的内容很难讲清楚,而Mathematica对此做出直观生动的解释和模拟,使抽象的内容可视化,学生迅速形成感知,一目了然,对函数的幂级数逼近有更直观、更深刻的理解,达到好的教学效果。
  1.2、利用数学软件,验证结论的正误,推动知识的深化
  高等数学中的不少知识比较抽象,推导都比较复杂,学生理解起来有一定困难,通过Mathematica强大的计算和绘图功能,可轻易得到正确的结果,便于对理论学习的验证和教学内容的完善。
  案例2:验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性。
  用作图命令画出的曲线:
  Clear[f,x]
  f[x_]:=4*x^3-5*x^2+x-2
  Plot[f[x],{x,0,1}]
  考查图2可以发现它的几个显著特点:
  
  图2
  (1)在区间上连续;
  (2)在上曲线光滑(即可导);
  (3)
  图2提高了教学内容的可视性,增强教学的直观性,深化了学生对定理的认识。我们还可以用符号运算中的Solve命令求出满足拉格朗日中值定理的两个横坐标的值,进一步验证命题的科学性。
  高等数学中也有不少错误的命题、结论常让学生困惑,在一元函数微分学中,已知道无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量,很多同学受到误导,想当然认为“无穷大量与有界变量的乘积也是无穷大量”。给出下面的反例,利用Mathematica软件作图,使学生的观念由似是而非到清晰正确。
  案例3:函数是否有界?又问当时这个函数是否为无穷大?为什么?
  在Mathematica的Notebook界面输入作图命令,得到图2。
  
  图3
  观察图3可知,随着的增大,总有这样的,使相应的绝对值充分大,函数在无穷远处无限振荡。因此,有界,当时函数不是无穷大。学生从直观图形中获得感性认识,加深了对知识的理解和体验,发展了研究性思维能力。
  1.3、利用数学软件,培养空间想象能力
  学生学习“重积分、曲线积分、曲面积分”等方面的问题,因涉及到许多立体曲面、曲线等,学生往往很难画出这些复杂图形的直观图,进而影响他们对问题的解决,挫伤他们学习的积极性。用Mathematica数学软件,可以绘制出精美的三维图形,化抽象为形象,化枯燥为生动,并有效地加强几何直观性,加强立体感知,使学生搭建起空间思维的模型,这对形成空间想象能力很有好处
  案例4:画出函数的图形。
  输入:Plot3D[x^2*y/(x^2+y^2),{x,-1,1},{y,-1,1},PlotPoints®30],输出的结果如图3所示。
  
  图4
  利用三维图形可方便地使学生建立空间想象,必然为学习“重积分、曲线积分、曲面积分”等方面的内容扫除障碍,给传统的教学注入了活力。
  2、利用数学软件辅助复杂计算,激发学生学习的兴趣
  数学模型建立以后,需要求解与选择数值算法,但是数值计算在理论上算法多、公式多、计算量大,且计算枯燥、繁琐,十分影响学习兴趣。
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