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一类分数阶微分方程边值问题解的存在性与唯一性_压缩映射原理-论文网

时间:2015-02-25  作者:王翠菁
论文摘要:利用Banach压缩映射原理讨论非线性分数阶微分方程边值问题
论文关键词:压缩映射原理,格林函数,边值问题,微分
  0引言:
  分数阶微分方程在不同的科学领域起着越来越重要的作用。例如在扩散和运输理论、高分子材料的解链、弹性梁等诸多领域得以应用。近年来,有许多学者在分数阶微分方程领域取得了不少的成果.
  本文受到文献[5]的启发,利用Banach压缩映射原理讨论下面含参数分数阶微分方程边值问题
  解的存在性及唯一性,其中是一个实数,并且是Caputo型微分。并假设是连续的。
  1预备知识
  为了方便证明,直接给出分数阶微分方程的定义和基本定理。
  定义1.1:函数y:阶Caputo型微分定义如下:
  0
  定义1.2:函数y:阶Riemann—liouville型分数阶积分定义如下:
  
  引理1.1:令,那么分数阶微分方程有解
  
  其中
  引理1.2:令,则有
  其中0
  由引理1.1,引理1.2可得下面的引理。
  引理1.3:给定,且,则分数阶微分方程
  
  的唯一解是,其中
  (2)
  引理1.4:通过(2)定义的格林函数有如下性质:
  (R1),而且对,有
  (R2)0
  令,其范数,可知(X,)是Banach空间。
  在本文中做以下假设:
  (H1)存在常数,使得
  考虑
  定义算子T:为:,则分数阶微分方程问题(1)有解,等价于算子方程有不动点。
  定理1.1(Banach压缩映射原理)设D是Banach空间X中的一个非空闭子集,而T:0,且T在D内满足Lipschitz条件,即对任意的,有,则必存在唯一的,使
  2主要结果
  定理2.1如果假设H1成立,且
  那么边值问题(1)存在唯一解。
  证明:令
  定义空间
  由(H1),对,有.
  则
  
  所以T:,对,有
  
  因为,所以T是压缩映射,于是存在唯一的,即边值问题(1)存在唯一正解
参考文献
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7 Chuan zhi Bai,Jinxuan Fang.The existence of a positive solution for a singular coupled system of nonlinear fractionaldifferential equations[J].Applied Mathematics and Computation, 2004 (150): 611–621.
8 苏新卫.分数阶微分方程耦合系统边值问题解得存在性[J],工程数学学报, 2009 (26):133–137.
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