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多圆盘上的Toeplitz算子_无界函数-论文网

时间:2015-01-08  作者:佚名
论文摘要:受曹广福教授和Josepha.Cima教授的文章的启发,研究多圆盘上Bergman空间中具有无界符号的Toeplitz算子的有界性、紧性。
论文关键词:算子,无界函数,空间
  一、引言
  记D是复平面内的单位圆盘,T是单位圆周,对确定的正整数n,分别是n个D,T的笛卡尔积,不难证明的Shilov边界[8,9],表示的拓扑边界,本文所涉及的边界问题只考虑Shilov边界。表示Bergman空间,在上关于正规化的Lebesgue面积测度dA是平方可积的,且在上是解析的函数空间。对,用表示上以f为符号的Toeplitz算子,其定义如下:其中P表示上的正交投影,此算子是稠密定义的。在[1]中,曹广福教授在单位球上构造了一类无界函数,使以之为符号的Toeplitz算子是紧的,并且,构造了在单位球的每个边界点的任意领域上的无界函数,以其为符号的Toeplitz算子是trace类算子。在[2]中Axler刻画了D上的有界符号诱导出Toeplitz算子在Bergman空间上何时是紧的。在[3]中,Grudsky和Vasilevski证明了以径向函数为符号的Toeplitz算子在上是有界(或紧)的,当且仅当序列。在[5]中Josepha.Cima研究了在单位圆盘上Bergman空间中以无界函数为符号的Toeplitz算子的紧性问题。
  二、有界性
  本部分在多圆盘上构造满足一定增长条件的无界函数.首先在的子域上构造特定的类型使得这些无界函数在的正测度集上"膨胀",但其相应的Toeplitz算子仍是有界的,或紧的。设“锥点”域其中m,b的值视研究的具体情况而定。对上的任意点,设旋转,再“膨胀”,使得对某个,满足.设序列恰好是某个Cantor集的顶点。首先在[0,1]区间构造Cantor集,去掉中间长度为的部分,在剩下的两个不相交的区间中再分别去掉长度为的中间部分,依次重复这个过程..此过程在[0,1]上产生一个紧的正测度集A,对A作n个笛卡尔积,设,通过函数,把M映射到,且是顶点的像.因此,每个达到,且可选择使得它们是不相交的。设,考虑一个可测函数H(z)满足其中0,使得对每个球(以为球心,r为半径),及任意r值,有
  。定义的特征函数,显然h在每个点趋向无穷大.又因为中的Cantor集的其它点是顶点的极限点,所以h在的Cantor集的其它点也趋向无穷大.因此,得出结论:在的正测集上,h为无穷大.易证当时,选择适当的b与,可使下面讨论Toeplitz算子的有界性。
  定理1.1:设H(z)是上具有增长速度为的可测函数,其中0,对上的任意Cantor集,其顶点,存在与不相交集为集合
  旋转而得,且有限,使得若,则符号诱导上的一个有界Toeplitz算子。特别地,当取b=2c+5,时,结论成立.
  证明:对
  对每个i,
  
  若对某一满足b-2c-3>0的常数c,则
  
  取b=2c+5,上式级数收敛,所以上有界。.因此,即使符号在的正测度集上趋于无穷,仍可以得到有界的Toeplitz算子。
  三、紧性
  定理1.2:设h与如定理1.1中所设,则选取合适的b与值时,可使上的紧算子。
  证明:选取序列满足的紧子集上一致收敛到0,我们将证明,当时,。再选取序列使得,选定J,则可找到正整数N使得对任意且对,有.考察
  现估算,对任意n>N,
  
  对,运用Cachy-Schwarz不等式,则
  
  若取b=2c+4,则由已知假设得右边的级数收敛,的和小于的常数倍。
  所以,当时,是紧的。
参考文献
1 Cao Guangfu.\ Toeplitz operators with unbounded symbols of several complex variables,Math.Anal.Appl[J].2008,339:1277-1285
2 S.AXLER,D.ZHENG. Compact operators via the Berezin transform,Indianauniv.Math.[J].1998,47:387-400
3 S.GRUDSKY,N.VASILEVSKI.Bergman-Toeplitz operators:Radial compact influence,Integral Equations operator Theory [J].2001,40:16-33
4 J.Miao,D.Zheng.Compact operators on Bergman Spaces,Integral Equations operatorTheory [J].2004,48:61-79
5 JOSEPHA.CIMA,ZELJKO CUCKOVIC,Compact Toeplitz Operators with unbounded symbols,OperatorTheory[J].2005,53:(2),431-440
6 WALTER RUDIN.Function theory in polydiscs,W.A.BenjaminInc.New York-Amsterdan[M].1969
7 Bottema,Reinie Erne.Topics in Elementary Geometry,Springer New York[M].2008,1-6
8 Eberhard Kaniuth,A course in commutative Banach Algebras,Springer New York [M].2009
9 李炳仁。Banach代数,科学出版社[M].1992
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