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关于积分中值定理的一个问题_开区间

时间:1970-01-01  作者:天津

论文导读::在原有的积分中值定理的基础上加强了被积函数的条件得出了至少存在一点属于开区间的结论、给出了证明,并且应用到形如这一问题的证明中,较为有效.
论文关键词:积分中值定理,严格单调,开区间
 

0引言

积分中值定理是被积函数在闭区间连续的条件下得出至少存在一点属于闭区间使得式子严格单调成立的结论,有时利用该定理解决问题能否在两端点取值至关重要,我们被积对函数作一限制开区间,得到的结论, 给出了证明,并且以证明严格单调这一问题为例来表明的重要性.

1.相关的定义与定理

定义1.(严格单调)设函数在数集上有定义.若,且

),则称函数上严格增加(严格减少).

定理1.( 严格单调充分条件) 若函数在区间可导,,有)则函数在区间上严格增加(严格减少).

定理2. 若函数在闭区间连续,可导开区间,,有)则函数在闭区间严格增加(严格减少).

证明: 不妨设(同理可证情形)

因为由定理1可得函数在开区间严格增加分别应用拉格朗日中值定理(定理见文献2)得到

严格单调(1)

(2)

由(1)、(2)及易得

综上可得函数在闭区间严格增加,定理2得证.事实上我们证明了一个更一般的结论,即有如下推论.

推论1. 若函数在区间可导,,有)且

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